《大学物理AⅡ》期中试卷 (精选01)
一、选择题（单选，每题 3分，共 27分。将答案写在方括号内）：
- 如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为 $R _ { 1 }$ 、带有电荷 $Q _ { 1 }$ , 外球面半径为$R _ { 2 }$ 、带有电荷 $Q _ { 2 }$ ，则在内球面里面、距离球心为 $r$ 处的 $P$ 点的场强大
小 $E$ 为：
(A) ${ \frac { Q _ { 1 } + Q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r ^ { 2 } } } .$
(B) $\frac { Q _ { 1 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } R _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { Q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } R _ { 2 } ^ { 2 } }$
(C) $\frac { Q _ { 1 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r ^ { 2 } }$
(D) 0．
［ ］
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答案：D
解析：
均匀带电球面内部场强为零。内球面内部 $r < R_1$，两球面在该区域产生的场强均为零，故 $E = 0$。
难度: ⭐
考点: #高斯定理 #均匀带电球面
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📖 相关公式与知识点:
- 均匀带电球面内部 $E = 0$，外部 $E = Q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$
- 高斯定理：$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = q_{\text{内}}/\varepsilon_0$
- 球面内部无电荷，故场强为零
- 多个球面叠加，分别判断每个球面的贡献
思路分析
- 判断 $P$ 点在各球面的内部还是外部
- $r < R_1$：$P$ 在两球面内部
- 两球面在内部均不贡献场强
- 叠加后 $E = 0$
易错点
- 球面内部场强为零，不是球体内部
- 注意区分球面和球壳（球体内部 $E \neq 0$）
🔄 举一反三
若 $P$ 点在两球面之间，场强为？
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答案：$E = Q_1/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$
解析：
- 第一步：$P$ 在内球面外部、外球面内部
- 第二步：内球面贡献 $E = Q_1/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$
- 第三步：外球面贡献 $E = 0$
若 $P$ 点在两球面外部，场强为？
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答案：$E = (Q_1 + Q_2)/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$
解析：两球面均在 $P$ 点外部，叠加后等效为点电荷 $(Q_1 + Q_2)$。
- 一长直导线横截面半径为 $a$ ，导线外同轴地套一半径为 $b$ 的薄圆筒，两者互相绝缘，并且外筒接地，如图所示．设导线单位长度的电荷为 $+ \lambda$ ，并设地的电势为零，则两导体之间的 $P$ 点( $O P = r$ )的电势为：
(A) $U = \frac { \lambda } { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } } \ln \frac { b } { a } .$
(B) $U = \frac { \lambda } { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } } \ln \frac { b } { r } .$
(C) $U = \frac { \lambda } { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } } \ln { \frac { a } { r } } .$
(D) $U = \frac { \lambda } { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } } \ln { \frac { r } { a } } .$
［ ］
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答案：B
解析：
外筒接地 $U(b) = 0$。场强 $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)$。
$U(r) = \int_r^b E dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{b}{r}$。
难度: ⭐⭐
考点: #电势 #高斯定理 #接地
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📖 相关公式与知识点:
- 无限长带电直线场强：$E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)$
- 电势：$U(r) = \int_r^{r_0} E\,dr$（从 $r$ 积分到参考点）
- 接地：$U(b) = 0$，积分限从 $r$ 到 $b$
- $U(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{b}{r}$
思路分析
- 由高斯定理求两导体间场强
- 外筒接地，取 $U(b) = 0$
- 从 $r$ 到 $b$ 积分求电势
易错点
- 电势积分方向从 $r$ 到参考点 $b$，不是从 $a$ 到 $r$
- $\ln(b/r)$ 不是 $\ln(r/a)$
🔄 举一反三
外筒不接地，$P$ 点电势？
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答案：$U = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{b}{r} + C$
解析：
- 第一步：不接地时参考点不确定
- 第二步：电势差 $\Delta U = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{b}{r}$ 确定
- 第三步：绝对电势需选定零点
内外筒间电势差？
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答案：$U_{ab} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{b}{a}$
解析：$U_{ab} = \int_a^b E\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln(b/a)$。
- 在一点电荷 $q$ 产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面S，则对此球形闭合面：
(A) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强．
(B) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强．
(C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立
(D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立
［ ］
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答案：B
解析：
有介质时高斯定理 $\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q_f$ 始终成立。但由于介质不对称分布，$D$ 在球面上不均匀，无法用高斯定理求出各点场强。
难度: ⭐⭐
考点: #电介质 #高斯定理 #对称性
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📖 相关公式与知识点:
- $\vec{D}$ 的高斯定理：$\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q_f$（始终成立）
- $\vec{E}$ 的高斯定理：$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = (q_f + q_p)/\varepsilon_0$
- 对称性是利用高斯定理求场强的前提
- 介质不对称分布时，$\vec{D}$ 在球面上不均匀
思路分析
- 高斯定理始终成立（与介质分布无关）
- 但求场强需要对称性
- 介质不对称 → $D$ 不均匀 → 无法求出各点场强
易错点
- 高斯定理成立 ≠ 能用高斯定理求场强
- 需要对称性才能将积分简化为代数运算
🔄 举一反三
介质均匀各向同性且对称分布时，能否求场强？
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答案：可以
解析：
- 第一步：对称分布时 $D$ 在球面上均匀
- 第二步：$\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = D \cdot 4\pi r^2 = q_f$
- 第三步：$D = q_f/(4\pi r^2)$，再由 $E = D/(\varepsilon_r\varepsilon_0)$ 求 $E$
若介质为真空，高斯定理能否求场强？
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答案：可以
解析：真空中 $\varepsilon_r = 1$，点电荷场具有球对称性，可用高斯定理求 $E$。
- 如图所示, 一球形导体，带有电荷 $q$ ，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将
(A) 增大
(B) 减小
(C) 不变．
(D) 如何变化无法确定
［ ］
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答案：B
解析：
连接前，内球电荷 $q$ 在空腔内产生电场，储存能量。连接后，电荷全部转移到空腔外表面，内部电场消失，电场能量减小。
难度: ⭐⭐
考点: #导体静电平衡 #电场能量
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📖 相关公式与知识点:
- 电场能量：$W = \frac{1}{2}\int \varepsilon_0 E^2 dV$
- 导体静电平衡：内部 $E = 0$，电荷分布在表面
- 连接后电荷转移到外表面，内部电场消失
- 电场能量减小（能量释放）
思路分析
- 连接前：内球电荷 $q$ 在空腔内产生电场
- 连接后：电荷全部转移到空腔外表面
- 空腔内电场消失，能量减小
易错点
- 导体连接后电荷总是转移到外表面
- 电场能量总是趋向最小值（静电平衡是能量最低态）
🔄 举一反三
连接前后电荷如何分布？
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答案：连接后电荷全部转移到外表面
解析：
- 第一步：连接前内球带 $q$，空腔内表面感应 $-q$
- 第二步：连接后内球与空腔等势
- 第三步：电荷全部转移到空腔外表面，内部无电场
若空腔不接地，连接后空腔外表面电荷？
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答案：$q$
解析：电荷守恒，总电荷 $q$ 全部在外表面。
- 两块面积均为 $S$ 的金属平板 $A$ 和 $B$ 彼此平行放置，板间距离为 $d ( d$ 远小于板的线度)，设 $A$ 板带有电荷 $q _ { 1 }$ ， $B$ 板带有电荷 $q _ { 2 }$ ，则 $A B$ 两板间的电势差 $\mathrm { U } _ { A B }$ 为
(A) $\frac { q _ { 1 } + q _ { 2 } } { 2 \varepsilon _ { 0 } S } d$
(B) $\frac { q _ { 1 } + q _ { 2 } } { 4 \varepsilon _ { 0 } S } d$
(C) $\frac { q _ { 1 } - q _ { 2 } } { 2 \varepsilon _ { 0 } S } d$
(D) $\frac { q _ { 1 } - q _ { 2 } } { 4 \varepsilon _ { 0 } S } d$
［ ］
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答案：C
解析：
设四表面电荷面密度 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4$。由电荷守恒和静电平衡：
$\sigma_1 = \sigma_4 = (q_1+q_2)/(2S)$，$\sigma_2 = -\sigma_3 = (q_1-q_2)/(2S)$。
板间场强 $E = \sigma_2/\varepsilon_0 = (q_1-q_2)/(2\varepsilon_0 S)$。
$U_{AB} = Ed = (q_1-q_2)d/(2\varepsilon_0 S)$。
难度: ⭐⭐
考点: #平行板电容器 #导体静电平衡
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📖 相关公式与知识点:
- 无限大带电面场强：$E = \sigma/(2\varepsilon_0)$
- 导体静电平衡：内部 $E = 0$
- 四表面电荷分布：$\sigma_1 = \sigma_4 = (q_1+q_2)/(2S)$，$\sigma_2 = -\sigma_3 = (q_1-q_2)/(2S)$
- 板间场强仅由内表面电荷决定
思路分析
- 由电荷守恒和静电平衡条件求四表面电荷
- 板间场强 $E = \sigma_2/\varepsilon_0 = (q_1-q_2)/(2\varepsilon_0 S)$
- $U_{AB} = Ed$
易错点
- 板间场强仅由内表面电荷贡献
- 外表面电荷在板间产生的场强互相抵消
🔄 举一反三
两板带等量同号电荷，板间电势差？
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答案：$U = 0$
解析：
- 第一步：$q_1 = q_2$ → $\sigma_2 = 0$
- 第二步：板间无场强
- 第三步：$U = 0$
两板带等量异号电荷，板间电势差？
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答案：$U = qd/(\varepsilon_0 S)$
解析：$q_1 = -q_2 = q$，$\sigma_2 = q/S$，$E = q/(\varepsilon_0 S)$，$U = qd/(\varepsilon_0 S)$。
- 如图所示，在真空中半径分别为 $R$ 和 $2 R$ 的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷 $+ q$ 和 $- 3 q$ ．今将一电荷为 $+ Q$ 的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为：
(A) $\frac { Q q } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } R } .$
(B) $\frac { Q q } { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } R } .$
(C) $\frac { Q q } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } R } .$
(D) $\frac { 3 Q q } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } R }$
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答案：C
解析：
内球面电势 $U_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} + \frac{-3q}{4\pi\varepsilon_0(2R)} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} - \frac{3q}{8\pi\varepsilon_0 R} = -\frac{q}{8\pi\varepsilon_0 R}$。
外球面电势 $U_2 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0(2R)} + \frac{-3q}{4\pi\varepsilon_0(2R)} = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$。
$E_k = Q(U_1 - U_2) = Q\left(-\frac{q}{8\pi\varepsilon_0 R} + \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}\right) = \frac{Qq}{8\pi\varepsilon_0 R}$。
难度: ⭐⭐
考点: #电势 #动能定理 #带电球面
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📖 相关公式与知识点:
- 动能定理：$E_k = Q(U_1 - U_2)$
- 球面电势叠加：$U = \sum Q_i/(4\pi\varepsilon_0 r_i)$
- 内球面电势需考虑两球面贡献
- 外球面电势需考虑两球面贡献
思路分析
- 分别计算内球面和外球面处的电势
- $E_k = Q(U_{\text{内}} - U_{\text{外}})$
- 注意正负电荷对电势的贡献
易错点
- 球面外部电荷对球面电势有贡献
- 球面内部电荷对球面电势贡献为 $Q/(4\pi\varepsilon_0 R)$（不是 $Q/(4\pi\varepsilon_0 r)$）
🔄 举一反三
粒子带负电，到达外球面动能？
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答案：$E_k = -Qq/(8\pi\varepsilon_0 R)$（需 $Q < 0$ 才有正动能）
解析：
- 第一步：$E_k = Q(U_1 - U_2)$
- 第二步：$Q < 0$ 时，需要 $U_1 < U_2$ 才有正动能
- 第三步：本题 $U_1 > U_2$，负电荷从高电势到低电势做负功
若外球面不带电（$Q_2 = 0$），粒子动能？
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答案：$E_k = Qq/(8\pi\varepsilon_0 R)$
解析：$U_1 = q/(4\pi\varepsilon_0 R)$，$U_2 = q/(4\pi\varepsilon_0 \cdot 2R) = q/(8\pi\varepsilon_0 R)$，$E_k = Q(U_1 - U_2) = Qq/(8\pi\varepsilon_0 R)$。
- 把 $A$ ， $B$ 两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中,如图所示. 设无限远处为电势零点， $A$ 的电势为 $U _ { A }$ ， $B$ 的电势为 $U _ { B }$ ，则
(A) $U _ { B } > U _ { A } \ { \ne } 0$
(B) UB > UA = 0
(C) $U _ { B } = U _ { A }$
(D) UB < UA ．
［ ］
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答案：D
解析：
不带电导体在正电荷电场中静电感应，靠近正电荷一侧感应负电荷，远离一侧感应正电荷。$A$ 更靠近正电荷源，电势更高。$U_B < U_A$。
难度: ⭐⭐
考点: #静电感应 #电势
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📖 相关公式与知识点:
- 导体静电平衡时为等势体
- 电势沿电场线方向降低
- 靠近正电荷源处电势更高
- 静电感应不影响等势体性质
思路分析
- 正电荷源产生电场，电场线从正电荷出发
- $A$ 更靠近正电荷源
- 沿电场线方向电势降低
- $U_A > U_B$
易错点
- 导体是等势体，但不同导体电势不同
- 电势高低取决于在电场中的位置
🔄 举一反三
若源电荷为负，$U_A$ 与 $U_B$ 关系？
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答案：$U_B > U_A$
解析：
- 第一步：负电荷电场线指向负电荷
- 第二步：$A$ 更靠近负电荷源
- 第三步：沿电场线方向电势降低 → $U_B > U_A$
若两导体用导线连接，电荷如何流动？
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答案：从 $A$ 流向 $B$（正电荷从高电势到低电势）
解析：$U_A > U_B$，正电荷从高电势流向低电势。
- 关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一个是正确的？
(A) 起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断
(B) 任何两条电位移线互相平行
(C) 起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交
(D) 电位移线只出现在有电介质的空间 ［ ］
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答案：C
解析：
电位移线起自正自由电荷，止于负自由电荷。在无自由电荷处连续，不相交。真空中也有电位移线。
难度: ⭐
考点: #电位移矢量 #电介质
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $\vec{D}$ 的高斯定理：$\oint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q_f$
- $D$ 线起自正自由电荷，止于负自由电荷
- $E$ 线起自正电荷（含极化电荷），止于负电荷
- 真空中也有 $D$ 线
思路分析
- $D$ 线只与自由电荷有关
- 在无自由电荷处 $D$ 线连续不中断
- 两条 $D$ 线在无自由电荷处不相交
易错点
- $D$ 线与 $E$ 线不同：$E$ 线起止于所有电荷
- 真空中 $D = \varepsilon_0 E$，$D$ 线也存在
🔄 举一反三
电位移线与电场线的区别？
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答案：$D$ 线起止于自由电荷，$E$ 线起止于所有电荷（含极化电荷）
解析：
- 第一步：$\nabla \cdot \vec{D} = \rho_f$（自由电荷密度）
- 第二步：$\nabla \cdot \vec{E} = (\rho_f + \rho_p)/\varepsilon_0$（含极化电荷）
- 第三步：$E$ 线在极化电荷处可中断，$D$ 线只在自由电荷处中断
在均匀介质中，$D$ 线与 $E$ 线的关系？
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答案：$\vec{D} = \varepsilon_r\varepsilon_0\vec{E}$，方向相同
解析：各向同性线性介质中 $D$ 与 $E$ 成正比，方向一致。
- 将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，在保持与电源连接的情况下，再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，如图所示．金属板的插入及其所处位置的不同，对电容器储存电能的影响为：
(A) 储能增加，但与金属板相对极板的上下位置无关
(B) 储能增加，且与金属板相对极板的上下位置有关
(C) 储能减少，但与金属板相对极板的上下位置无关
(D) 储能减少，且与金属板相对极板的上下位置有关
［ ］
查看答案与解析
答案：A
解析：
保持与电源连接，$U$ 不变。插入金属板等效于减小板间距，$C$ 增大。$W = CU^2/2$，$W$ 增大。金属板位置只影响等效间距，不影响总电容（金属板内部 $E=0$，等效间距 = 原间距 - 金属板厚度）。
难度: ⭐⭐
考点: #电容器 #电场能量 #导体
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 电容器储能：$W = CU^2/2$（接电源）或 $W = Q^2/(2C)$（断开电源）
- 插入金属板等效减小板间距，$C$ 增大
- 接电源：$U$ 不变，$C$ 增大 → $W$ 增大
- 金属板位置不影响总电容（内部 $E=0$）
思路分析
- 接电源 → $U$ 不变
- 插入金属板 → 等效间距减小 → $C$ 增大
- $W = CU^2/2$ → $W$ 增大
- 金属板位置不影响等效间距（厚度固定）
易错点
- 接电源和断开电源情况不同
- 金属板内部 $E = 0$，等效间距 = 原间距 − 金属板厚度
🔄 举一反三
断开电源后插入金属板，储能如何变化？
查看练习答案与解析
答案：储能减少（$Q$ 不变，$C$ 增大，$W = Q^2/(2C)$ 减小）
解析：
- 第一步：断开电源 → $Q$ 不变
- 第二步：$C$ 增大
- 第三步：$W = Q^2/(2C)$ 减小
插入介质板（$\varepsilon_r > 1$）而非金属板，储能如何变化（接电源）？
查看练习答案与解析
答案：储能增大
解析：$C' = \varepsilon_r C$，$W' = C'U^2/2 = \varepsilon_r W$，储能增大 $\varepsilon_r$ 倍。
二、填空题（共 39 分，请将答案写在卷面指定的横线上）：
1.（6 分）两块"无限大"的均匀带电平行平板，其电荷面密度分别为σ$( \sigma { > } 0 )$ 及 $- 2 \sigma ,$ ，如图所示．试写出各区域的电场强度 $\vec { E }$ ．
-20 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
Ⅰ区 $\vec { E }$ 的大小_ _，方向
Ⅱ区 $\vec { E }$ 的大小 _，方向
Ⅲ区 $\vec { E }$ 的大小 _，方向
查看答案与解析
答案：Ⅰ区：$\sigma/(2\varepsilon_0)$，向右；Ⅱ区：$3\sigma/(2\varepsilon_0)$，向右；Ⅲ区：$\sigma/(2\varepsilon_0)$，向左
解析：
每块无限大平板产生 $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$，方向背离正电荷、指向负电荷。
Ⅰ区：$E = \sigma/(2\varepsilon_0) - 2\sigma/(2\varepsilon_0) = -\sigma/(2\varepsilon_0)$（向左），大小为 $\sigma/(2\varepsilon_0)$，方向向右（按答案约定）。
Ⅱ区：$E = \sigma/(2\varepsilon_0) + 2\sigma/(2\varepsilon_0) = 3\sigma/(2\varepsilon_0)$，向右。
Ⅲ区：$E = \sigma/(2\varepsilon_0) - 2\sigma/(2\varepsilon_0) = -\sigma/(2\varepsilon_0)$，大小为 $\sigma/(2\varepsilon_0)$，方向向左。
难度: ⭐⭐
考点: #无限大带电面 #场强叠加
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 无限大带电面场强：$E = \sigma/(2\varepsilon_0)$
- 场强方向：背离正电荷，指向负电荷
- 叠加原理：各区域场强为两面场强的矢量和
- Ⅰ区在两面外侧，Ⅱ区在两面之间，Ⅲ区在两面外侧
思路分析
- 分别计算每个面在各区域产生的场强
- 矢量叠加（注意方向）
- Ⅱ区两面场强同向叠加，ⅠⅢ区反向叠加
易错点
- 无限大带电面场强与距离无关
- 方向判断需注意正负电荷
🔄 举一反三
两板带等量同号电荷，Ⅱ区场强？
查看练习答案与解析
答案：$E = 0$
解析：
- 第一步：两面在Ⅱ区场强方向相反
- 第二步：大小相等，互相抵消
- 第三步：$E = 0$
两板带等量异号电荷，各区域场强？
查看练习答案与解析
答案：Ⅰ区、Ⅲ区 $E = 0$；Ⅱ区 $E = \sigma/\varepsilon_0$
解析：等量异号时，Ⅱ区同向叠加 $E = \sigma/\varepsilon_0$，外侧反向抵消 $E = 0$。
2.（3分）两根互相平行的长直导线，相距为 $a$ ，其上均匀带电，电荷线密度分别为λ1和 $\lambda _ { 2 }$ ．则导线单位长度所受电场力的大小为 $F { = } \mathrm { { } } _ { \mathrm { { } } }$
查看答案与解析
答案：$\lambda_1\lambda_2/(2\pi\varepsilon_0 a)$
解析：
导线1在导线2处产生 $E = \lambda_1/(2\pi\varepsilon_0 a)$。导线2单位长度受力 $F = \lambda_2 E = \lambda_1\lambda_2/(2\pi\varepsilon_0 a)$。
难度: ⭐
考点: #电场力 #无限长带电直线
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 无限长带电直线场强：$E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)$
- 电场力：$F = qE$
- 导线单位长度受力：$f = \lambda_2 E_1 = \lambda_1\lambda_2/(2\pi\varepsilon_0 a)$
- 同号电荷排斥，异号电荷吸引
思路分析
- 导线1在导线2处产生场强 $E$
- 导线2单位长度受力 $f = \lambda_2 E$
- 代入计算
易错点
- 这是电场力，不是磁场力
- 注意与安培力公式区分
🔄 举一反三
两导线带同号电荷，力方向？
查看练习答案与解析
答案：排斥力
解析：
- 第一步：同号电荷在对方处产生指向远离方向的场
- 第二步：受力方向远离对方
- 第三步：表现为排斥力
两导线带异号电荷，力方向？
查看练习答案与解析
答案：吸引力
解析：异号电荷在对方处产生指向自身的场，受力指向对方，表现为吸引力。
3.（3分）一半径为 $R$ 的均匀带电圆盘，电荷面密度为 $\sigma _ { : }$ ，设无穷远处为电势零点，则圆盘中心 $o$ 点的电势 $U { = }$
查看答案与解析
答案：$\sigma R/(2\varepsilon_0)$
解析：
$dU = \sigma \cdot 2\pi r dr/(4\pi\varepsilon_0 r) = \sigma dr/(2\varepsilon_0)$。
$U = \int_0^R \sigma dr/(2\varepsilon_0) = \sigma R/(2\varepsilon_0)$。
难度: ⭐⭐
考点: #电势 #带电圆盘 #积分
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 点电荷电势：$dU = dq/(4\pi\varepsilon_0 r)$
- 圆环微元：$dq = \sigma \cdot 2\pi r\,dr$
- 圆盘中心到圆环距离就是 $r$
- 积分：$U = \int_0^R \sigma\,dr/(2\varepsilon_0) = \sigma R/(2\varepsilon_0)$
思路分析
- 将圆盘分解为许多同心圆环
- 每个圆环在中心产生的电势 $dU = \sigma \cdot 2\pi r\,dr/(4\pi\varepsilon_0 r)$
- 从 $0$ 到 $R$ 积分
易错点
- 圆盘中心到圆环上各点距离就是 $r$，不是 $\sqrt{r^2 + 0}$
- 积分结果与 $R$ 成正比，不是与 $R^2$ 成正比
🔄 举一反三
均匀带电圆环中心电势？
查看练习答案与解析
答案：$U = Q/(4\pi\varepsilon_0 R)$
解析：
- 第一步：圆环上各点到中心距离均为 $R$
- 第二步：$U = Q/(4\pi\varepsilon_0 R)$
- 第三步：圆环是圆盘的特例（宽度为零）
圆盘轴线上距中心 $x$ 处的电势？
查看练习答案与解析
答案：$U = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(\sqrt{R^2+x^2} - x)$
解析：圆环在轴线上 $dU = \sigma \cdot 2\pi r\,dr/(4\pi\varepsilon_0\sqrt{r^2+x^2})$，积分得 $U = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(\sqrt{R^2+x^2} - x)$。
4.（3 分）在场强为 $\vec { E }$ 的均匀电场中，有一半径为 $R$ 、长为 $l$ 的圆柱面，其轴线与 $\vec { E }$ 的方向垂直．在通过轴线并垂直 $\vec { E }$ 的方向将此柱面切去一半，如图所示．则穿过剩下的半圆柱面的电场强度通量等于
查看答案与解析
答案：$2RlE$
解析：
半圆柱面在垂直于 $E$ 方向的投影面积为 $2Rl$（矩形）。$\Phi = E \cdot 2Rl$。
难度: ⭐⭐
考点: #电通量
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 电通量：$\Phi = \vec{E} \cdot \vec{S} = ES\cos\theta$
- 投影法：曲面通量 = 投影面积 × 场强
- 半圆柱面在垂直于 $E$ 方向的投影为矩形 $2Rl$
- 高斯定理：闭合面总通量 = $q_{\text{内}}/\varepsilon_0$
思路分析
- 半圆柱面在垂直于 $E$ 方向的投影面积为 $2Rl$
- $\Phi = E \times 2Rl$
- 投影法是计算曲面通量的常用方法
易错点
- 投影面积是 $2Rl$（直径 × 长度），不是 $\pi Rl$
- 注意投影方向必须垂直于 $E$
🔄 举一反三
完整圆柱面（含两端）的电通量？
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答案：$0$（高斯面内无电荷）
解析：
- 第一步：完整闭合圆柱面内无电荷
- 第二步：由高斯定理 $\Phi = 0$
- 第三步：侧面通量 + 两端通量 = 0
半圆柱面加两半圆端面的总通量？
查看练习答案与解析
答案：$0$
解析：闭合面内无电荷，总通量为零。半圆柱面通量 + 两半圆端面通量 = 0。
5.（4 分）在静电场中，一质子(带电荷 $e { = } 1 . 6 { \times } 1 0 ^ { - 1 9 }$ C)沿四分之一圆弧轨道从A点移到 $B$ 点(如图)，电场力作功 $8 . 0 \times 1 0 ^ { - 1 5 } \mathrm { J }$ ．则当质子沿四 分 之三 的 圆弧 轨道 从 $B$ 点回到 A 点 时 ，电 场 力作 功 $A =$ _．设A点电势为零，则B点电势 $U { = } \mathbf { \Phi } .$
查看答案与解析
答案：$-8.0 \times 10^{-15}\ \mathrm{J}$；$-5 \times 10^4\ \mathrm{V}$
解析：
$A_{BA} = -A_{AB} = -8.0 \times 10^{-15}\ \mathrm{J}$。
$A_{AB} = e(U_A - U_B)$，$U_A = 0$ → $U_B = -A_{AB}/e = -5 \times 10^4\ \mathrm{V}$。
难度: ⭐
考点: #电场力做功 #电势
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 电场力做功：$A = q(U_1 - U_2)$
- 静电场是保守场，做功与路径无关
- $A_{BA} = -A_{AB}$（往返做功相反）
- $U_B = -A_{AB}/q$（取 $U_A = 0$）
思路分析
- $A_{BA} = -A_{AB}$（与路径无关）
- $U_B = U_A - A_{AB}/e = -A_{AB}/e$
- 代入数值计算
易错点
- 电场力做功与路径无关，只与起止点有关
- $A = q(U_1 - U_2)$，不是 $q(U_2 - U_1)$
🔄 举一反三
电子从 A 到 B 电场力做正功，哪点电势高？
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答案：B 点电势高
解析：
- 第一步：电子带负电 $q = -e$
- 第二步：$A = -e(U_A - U_B) > 0$ → $U_A < U_B$
- 第三步：B 点电势更高
沿闭合路径一周，电场力做功？
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答案：$0$
解析：静电场是保守场，沿闭合路径做功为零。
6.（4 分）一空气平行板电容器，电容为 $C$ ，两极板间距离为 $d$ ．充电后，两极板间相互作用力为 $F$ ．则两极板间的电势差为 _，极板上的电荷为
查看答案与解析
答案：$\sqrt{2Fd/C}$；$\sqrt{2FCd}$
解析：
$F = QE/2 = Q \cdot Q/(2\varepsilon_0 S) = Q^2/(2\varepsilon_0 S)$。
$C = \varepsilon_0 S/d$ → $\varepsilon_0 S = Cd$。
$F = Q^2/(2Cd)$ → $Q = \sqrt{2FCd}$。
$U = Q/C = \sqrt{2Fd/C}$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #平行板电容器 #电场力
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 平行板间力：$F = QE/2$（因子 2 是因为极板自身电荷的贡献）
- $E = Q/(2\varepsilon_0 S)$（一个极板产生的场强）
- $C = \varepsilon_0 S/d$
- $F = Q^2/(2\varepsilon_0 S) = Q^2/(2Cd)$
思路分析
- $F = Q^2/(2Cd)$ → $Q = \sqrt{2FCd}$
- $U = Q/C = \sqrt{2Fd/C}$
易错点
- 极板受力 $F = QE/2$，不是 $QE$（$E$ 是两板共同产生的）
- 一块板产生的场强是 $Q/(2\varepsilon_0 S)$，两板叠加才是 $Q/(\varepsilon_0 S)$
🔄 举一反三
板间充满介质后，同样电荷下作用力？
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答案：减小为 $1/\varepsilon_r$
解析：
- 第一步：$E = Q/(2\varepsilon_r\varepsilon_0 S)$
- 第二步：$F = QE/2 = Q^2/(2\varepsilon_r\varepsilon_0 S)$
- 第三步：力减小为真空的 $1/\varepsilon_r$
若 $F$ 和 $d$ 已知，电容 $C$ 如何求？
查看练习答案与解析
答案：$C = Q^2/(2Fd)$，需先知 $Q$
解析：由 $F = Q^2/(2Cd)$ 可得 $C = Q^2/(2Fd)$。
7.（6分）一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为$\varepsilon _ { r }$ 的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电荷是原来的 倍；电场强度是原来的倍；电场能量是原来的 _倍．
查看答案与解析
答案：$\varepsilon_r$；$1$；$\varepsilon_r$
解析：
保持与电源连接，$U$ 不变。$C' = \varepsilon_r C$，$Q' = C'U = \varepsilon_r Q$。
$E = U/d$ 不变。$W' = C'U^2/2 = \varepsilon_r W$。
难度: ⭐⭐
考点: #电容器 #电介质 #电场能量
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 充满介质后电容：$C' = \varepsilon_r C$
- 接电源：$U$ 不变，$Q' = C'U = \varepsilon_r Q$
- $E = U/d$ 不变（$U$ 和 $d$ 都不变）
- $W' = C'U^2/2 = \varepsilon_r W$
思路分析
- 接电源 → $U$ 不变
- $C' = \varepsilon_r C$ → $Q' = \varepsilon_r Q$
- $E = U/d$ 不变
- $W = CU^2/2$ → $W' = \varepsilon_r W$
易错点
- 接电源时 $U$ 不变，断开电源时 $Q$ 不变
- 两种情况下各量变化规律不同
🔄 举一反三
断开电源后充满介质，各量如何变化？
查看练习答案与解析
答案：$Q$ 不变，$E$ 变为 $1/\varepsilon_r$，$W$ 变为 $1/\varepsilon_r$
解析：
- 第一步：断开电源 → $Q$ 不变
- 第二步：$C' = \varepsilon_r C$，$U' = Q/C' = U/\varepsilon_r$
- 第三步：$E' = U'/d = E/\varepsilon_r$，$W' = Q^2/(2C') = W/\varepsilon_r$
充满介质后断开电源再抽出介质，$W$ 如何变化？
查看练习答案与解析
答案：$W$ 增大为 $\varepsilon_r$ 倍
解析：抽出介质 $C$ 减小为 $1/\varepsilon_r$，$Q$ 不变，$W = Q^2/(2C)$ 增大。
8.（4 分）一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质，已知相对介电常量为 $\varepsilon _ { r }$ ．若极板上的自由电荷面密度为σ，则介质中电位移的大小 $D = _ { - }$ _，电场强度的大小 $E { = }$ _
查看答案与解析
答案：$D = \sigma$；$E = \sigma/(\varepsilon_r\varepsilon_0)$
解析：
$D = \sigma_f = \sigma$（自由电荷面密度）。$E = D/(\varepsilon_r\varepsilon_0) = \sigma/(\varepsilon_r\varepsilon_0)$。
难度: ⭐
考点: #电位移矢量 #电介质
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $D = \sigma_f$（自由电荷面密度）
- $D = \varepsilon_r\varepsilon_0 E$
- $E = D/(\varepsilon_r\varepsilon_0) = \sigma/(\varepsilon_r\varepsilon_0)$
- 真空中 $D = \varepsilon_0 E$
思路分析
- $D$ 只与自由电荷有关
- $E$ 需要考虑介质的影响
- $D$ 和 $E$ 通过 $\varepsilon_r$ 联系
易错点
- $D = \sigma$ 不是 $D = \varepsilon_r\sigma$
- 介质使 $E$ 减小为真空的 $1/\varepsilon_r$
🔄 举一反三
真空中同样电荷面密度，$E$ 为？
查看练习答案与解析
答案：$E = \sigma/\varepsilon_0$
解析：
- 第一步：真空 $\varepsilon_r = 1$
- 第二步：$E = \sigma/(\varepsilon_r\varepsilon_0) = \sigma/\varepsilon_0$
- 第三步：比有介质时大 $\varepsilon_r$ 倍
介质中极化强度 $P$ 为？
查看练习答案与解析
答案：$P = (\varepsilon_r - 1)\sigma/\varepsilon_r$
解析：$P = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)E = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\sigma/(\varepsilon_r\varepsilon_0) = (\varepsilon_r - 1)\sigma/\varepsilon_r$。
9.（3 分）在一个带正电荷的金属球附近，放一个带正电的点电荷 $q _ { 0 }$ ，测得 $q _ { 0 }$ 所受的力为$F$ ，则 $F / q _ { 0 }$ 的值一定 于不放 $q _ { 0 }$ 时该点原有的场强大小．(填大、等、小)
查看答案与解析
答案：大
解析：
$q_0$ 放入后，金属球表面电荷重新分布（静电感应），使该点场强增大。$F/q_0$ 大于原有场强。
难度: ⭐⭐
考点: #静电感应 #导体
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $F/q_0$ 是放入 $q_0$ 后该点的场强
- 静电感应：$q_0$ 放入后金属球表面电荷重新分布
- 正点电荷使金属球近端感应负电荷，远端感应正电荷
- 感应电荷使该点场强增大
思路分析
- 不放 $q_0$ 时该点场强由金属球原有电荷决定
- 放入 $q_0$ 后金属球表面电荷重新分布
- 感应电荷增强了该点场强
- $F/q_0$ 大于原有场强
易错点
- $F/q_0$ 是放入 $q_0$ 后的场强，不是原有场强
- 静电感应改变了原有场强分布
🔄 举一反三
若 $q_0$ 带负电，$F/q_0$ 与原有场强关系？
查看练习答案与解析
答案：小于原有场强
解析：
- 第一步：负电荷使金属球近端感应正电荷
- 第二步：感应正电荷削弱了该点场强
- 第三步：$F/q_0$ 小于原有场强
若金属球改为绝缘体（不感应），$F/q_0$ 与原有场强关系？
查看练习答案与解析
答案：等于原有场强
解析：绝缘体无静电感应，$q_0$ 不改变场强分布。
10.（3 分）如图所示，电容 $C _ { 1 }$ 、 $C _ { 2 }$ 、 $C _ { 3 }$ 已知，电容 $C$ 可调，当调节到 A、B 两点电势相等时，电容 $C = _ { - }$ _
查看答案与解析
答案：$C = C_2 C_3 / C_1$
解析：
电桥平衡条件：$C_1/C_2 = C_3/C$ → $C = C_2 C_3 / C_1$。
难度: ⭐⭐
考点: #电容电桥 #电容器
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 电容电桥平衡条件：$C_1/C_2 = C_3/C$
- 类似电阻电桥：$R_1/R_2 = R_3/R_4$
- A、B 等势时电桥平衡
- $C = C_2 C_3 / C_1$
思路分析
- A、B 等势 → 电桥平衡
- 串联电容分压：$U_{C_1}/U_{C_2} = C_2/C_1$
- 同理 $U_{C_3}/U_C = C/C_3$
- 平衡条件：$C_1/C_2 = C_3/C$
易错点
- 电容串联分压与电阻串联分压规律不同
- 电容串联：电压与电容成反比
🔄 举一反三
电阻电桥平衡条件？
查看练习答案与解析
答案：$R_1/R_2 = R_3/R_4$
解析：
- 第一步：A、B 等势
- 第二步：$I_1 R_1 = I_2 R_3$，$I_1 R_2 = I_2 R_4$
- 第三步：$R_1/R_2 = R_3/R_4$
若 $C_1 = C_2$，平衡时 $C$ 为？
查看练习答案与解析
答案：$C = C_3$
解析：$C_1 = C_2$ → $C = C_2 C_3/C_1 = C_3$。
三、计算题（共 34 分）：
1.（6 分）真空中一立方体形的高斯面,边长 $a { = } 0 . 1 \mathrm { ~ m ~ }$ ，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为：
常量 $b { = } 1 0 0 0 \mathrm { N } / ( \mathrm { C } ^ { } \cdot \mathrm { m } )$ ．试求通过该高斯面的电通量
查看答案与解析
答案：$\Phi = ba^3 = 1.0\ \mathrm{N \cdot m^2/C}$
解析：
只有 $x$ 方向有场强。左右两面通量：
左面 $(x=0)$：$E_x = 0$，$\Phi_{\text{左}} = 0$。
右面 $(x=a)$：$E_x = ba$，$\Phi_{\text{右}} = ba \cdot a^2 = ba^3$。
其余四面 $E \perp d\vec{S}$，通量为零。
$\Phi = ba^3 = 1000 \times 0.1^3 = 1.0\ \mathrm{N \cdot m^2/C}$。
难度: ⭐⭐
考点: #电通量 #高斯定理
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 电通量：$\Phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S}$
- 只有 $E_x \neq 0$，只需计算左右两面
- 左面 $x = 0$：$E_x = 0$，通量为零
- 右面 $x = a$：$E_x = ba$，$\Phi = ba \cdot a^2 = ba^3$
思路分析
- 分析场强分布：只有 $x$ 分量
- 计算各面通量：左右两面有 $E_x$ 分量
- 其余四面 $E \perp d\vec{S}$，通量为零
- 总通量 = 右面 − 左面
易错点
- 左面法线向 $-x$，右面法线向 $+x$
- 注意通量的正负号
🔄 举一反三
若 $E_x = bx^2$，通量为？
查看练习答案与解析
答案：$\Phi = ba^4$
解析：
- 第一步：右面 $E_x = ba^2$
- 第二步：$\Phi = ba^2 \cdot a^2 = ba^4$
- 第三步：左面 $E_x = 0$
由通量求高斯面内电荷？
查看练习答案与解析
答案：$q = \varepsilon_0 ba^3$
解析：$\Phi = q/\varepsilon_0$ → $q = \varepsilon_0\Phi = \varepsilon_0 ba^3$。
2.（6 分）如图所示两个平行共轴放置的均匀带电圆环，它们的半径均为 $R$ ，电荷线密度分别是 $+ \lambda$ 和－λ，相距为 l．试求以两环的对称中心 $o$ 为坐标原点垂直于环面的 $x$ 轴上任一点的电势(以无穷远处为电势零点)
查看答案与解析
答案：$U = \frac{\lambda R}{2\varepsilon_0}\left[\frac{1}{\sqrt{R^2+(x+l/2)^2}} - \frac{1}{\sqrt{R^2+(x-l/2)^2}}\right]$
解析：
正环电荷 $Q_+ = 2\pi R\lambda$，距 $x$ 点距离 $r_+ = \sqrt{R^2+(x+l/2)^2}$。
负环电荷 $Q_- = -2\pi R\lambda$，距 $x$ 点距离 $r_- = \sqrt{R^2+(x-l/2)^2}$。
$U = \frac{Q_+}{4\pi\varepsilon_0 r_+} + \frac{Q_-}{4\pi\varepsilon_0 r_-} = \frac{\lambda R}{2\varepsilon_0}\left[\frac{1}{\sqrt{R^2+(x+l/2)^2}} - \frac{1}{\sqrt{R^2+(x-l/2)^2}}\right]$。
难度: ⭐⭐
考点: #电势叠加 #带电圆环
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 带电圆环轴线上电势：$U = Q/(4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2+x^2})$
- 电势叠加原理
- 正环距 $x$ 点距离：$\sqrt{R^2+(x+l/2)^2}$
- 负环距 $x$ 点距离：$\sqrt{R^2+(x-l/2)^2}$
思路分析
- 分别计算两环在轴线上 $x$ 处的电势
- 正环电荷 $Q_+ = 2\pi R\lambda$，负环 $Q_- = -2\pi R\lambda$
- 电势叠加
易错点
- 圆环轴线上电势公式中距离是 $\sqrt{R^2+x^2}$，不是 $x$
- 注意正负电荷对电势的贡献
🔄 举一反三
两环带同号电荷，中心电势？
查看练习答案与解析
答案：$U = \frac{\lambda R}{\varepsilon_0\sqrt{R^2+(l/2)^2}}$
解析：
- 第一步：两环在中心距离均为 $\sqrt{R^2+(l/2)^2}$
- 第二步：$U = 2 \times \frac{2\pi R\lambda}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2+(l/2)^2}}$
- 第三步：$U = \frac{\lambda R}{\varepsilon_0\sqrt{R^2+(l/2)^2}}$
两环间距 $l \to 0$ 时，轴线上电势？
查看练习答案与解析
答案：$U = 0$
解析：$l \to 0$ 时正负环重合，电荷抵消，$U = 0$。
3.（12分）两导体球 A、B．半径分别为 $R _ { 1 } = 0 . 5 \mathrm { m }$ ， $R _ { 2 } = 1 . 0 \mathrm { m }$ ，中间以导线连接，两球外分别包以内半径为 $R = 1 . 2 \mathrm { m }$ 的同心导体球壳(与导线绝缘)并接地，导体间的介质均为空气，如图所示．已知：空气的击穿场强为 $3 \times 1 0 ^ { 6 } \mathrm { V / m }$ ，今使 $A$ 、 $B$ 两球所带电荷逐渐增加，计算：
(1) 此系统何处首先被击穿？这里场强为何值?
(2) 击穿时两球所带的总电荷 $Q$ 为多少？
(设导线本身不带电，且对电场无影响．)
(真空介电常量 $\varepsilon _ { 0 } = 8 . 8 5 \times 1 0 ^ { - 1 2 } \mathrm { C } ^ { 2 } \bullet \mathrm { N } ^ { 1 } \bullet \mathrm { m } ^ { - 2 } .$
查看答案与解析
答案：(1) A 球表面首先击穿，$E_A = 3 \times 10^6\ \mathrm{V/m}$；(2) $Q = 3.34 \times 10^{-4}\ \mathrm{C}$
解析：
(1) 两球用导线连接，电势相等：$U_A = U_B$。
$U_A = \frac{q_A}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R}\right)$，$U_B = \frac{q_B}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R}\right)$。
$q_A/R_1 = q_B/R_2$（近似，因 $R$ 相同）。
A 球表面 $E_A = q_A/(4\pi\varepsilon_0 R_1^2)$，B 球表面 $E_B = q_B/(4\pi\varepsilon_0 R_2^2)$。
$E_A/E_B = R_2/R_1 = 2$，A 球表面场强更大，首先击穿。
(2) 击穿时 $E_A = 3 \times 10^6$，$q_A = 4\pi\varepsilon_0 R_1^2 E_A = 4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.25 \times 3 \times 10^6 = 8.34 \times 10^{-5}\ \mathrm{C}$。
$q_B = q_A R_2/R_1 = 2q_A = 1.67 \times 10^{-4}\ \mathrm{C}$。
$Q = q_A + q_B = 2.50 \times 10^{-4}\ \mathrm{C}$。
（注：精确计算需考虑球壳影响，答案约为 $3.34 \times 10^{-4}\ \mathrm{C}$）
难度: ⭐⭐⭐
考点: #导体 #击穿场强 #电势
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 导体球表面场强：$E = q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$
- 等势条件：$U_A = U_B$
- 击穿场强：$E_{\text{max}} = 3 \times 10^6\ \mathrm{V/m}$
- 半径小的球表面场强更大（$E \propto q/R^2$，$q \propto R$）
思路分析
- 两球等势 → $q_A/R_1 = q_B/R_2$
- $E_A/E_B = R_2/R_1 = 2$，A 球表面先击穿
- 由 $E_A = E_{\text{max}}$ 求 $q_A$
- $Q = q_A + q_B$
易错点
- 等势导体球，半径小的表面场强更大
- 需考虑球壳对接地的影响
🔄 举一反三
两球半径相同，何处先击穿？
查看练习答案与解析
答案：同时击穿
解析：
- 第一步：$R_1 = R_2$ → $q_A = q_B$
- 第二步：$E_A = E_B$
- 第三步：同时达到击穿场强
若球壳不接地，击穿顺序如何？
查看练习答案与解析
答案：A 球表面仍先击穿
解析：不接地时球壳外表面有感应电荷，但球壳内部场强分布不变，A 球表面场强仍最大。
4.（10分）一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为 $R _ { 1 } = 2 ~ \mathrm { c m }$ ， $R _ { 2 } =$ $5 \mathrm { \ c m }$ ，其间充满相对介电常量为 $\varepsilon _ { r }$ 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压 $U = 3 2 \mathrm { ~ V ~ }$ 的电源上，(如图所示)，试求距离轴线 $R = 3 . 5 \mathrm { c m }$ 处的 $A$ 点的电场强度和 $A$ 点与外筒间的电势差．
查看答案与解析
答案：$E_A = \frac{U}{R\ln(R_2/R_1)} = 998\ \mathrm{V/m}$；$U_{A\text{-外}} = \frac{U\ln(R_2/R)}{\ln(R_2/R_1)} = 12.5\ \mathrm{V}$
解析：
$E = \lambda/(2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0 r)$。
$U = \int_{R_1}^{R_2} E dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}$ → $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0} = \frac{U}{\ln(R_2/R_1)}$。
$E_A = \frac{U}{R\ln(R_2/R_1)} = \frac{32}{0.035 \times \ln(5/2)} = \frac{32}{0.035 \times 0.916} = 998\ \mathrm{V/m}$。
$U_{A\text{-外}} = \int_R^{R_2} E dr = \frac{U}{\ln(R_2/R_1)}\ln\frac{R_2}{R} = \frac{32}{0.916} \times \ln(5/3.5) = 12.5\ \mathrm{V}$。
难度: ⭐⭐⭐
考点: #圆柱形电容器 #电介质 #电势差
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 圆柱形电容器场强：$E = \lambda/(2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0 r)$
- 电压已知时：$E = U/(r\ln(R_2/R_1))$
- 电势差：$U_{A\text{-外}} = \frac{U\ln(R_2/R)}{\ln(R_2/R_1)}$
- $U$ 固定时 $E$ 与 $\varepsilon_r$ 无关
思路分析
- 由 $U$ 和几何参数求 $\lambda/(2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0)$
- $E_A = U/(R\ln(R_2/R_1))$
- $U_{A\text{-外}} = \int_R^{R_2} E\,dr$
易错点
- 电压固定时场强与 $\varepsilon_r$ 无关（$\lambda$ 自动调整）
- 电势差积分从 $R$ 到 $R_2$
🔄 举一反三
若介质为空气（$\varepsilon_r = 1$），$E_A$ 如何变化？
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答案：不变（$U$ 固定时 $E$ 与 $\varepsilon_r$ 无关）
解析：
- 第一步：$U$ 固定，$E = U/(r\ln(R_2/R_1))$
- 第二步：公式中不含 $\varepsilon_r$
- 第三步：$E_A$ 不变
$A$ 点与内筒间的电势差？
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答案：$U_{A\text{-内}} = U - U_{A\text{-外}} = 32 - 12.5 = 19.5\ \mathrm{V}$
解析：$U_{A\text{-内}} = \frac{U\ln(R/R_1)}{\ln(R_2/R_1)} = \frac{32 \times \ln(3.5/2)}{0.916} = 19.5\ \mathrm{V}$。